基本的な違いをかなり簡単にまとめました（全てがこうというわけではなく、あくまでもこういう傾向があるというだけです）。

・試験問題
　公立→一般教養・専門教養・面接・論文・実技など結構広範囲。
　私立→一般教養・面接・実技（特に音楽）などが主。

・就職活動
　公立→自治体の広報、ホームページ等をチェック。
　私立→大学等への求人募集やボランティア実習によるコネなど。

・倍率
　公立→人気のため倍率高い。場所にもよるが数倍〜数十倍。
　私立→決して低くはない。あまり公表されていないが数倍と予想。

・給与
　公立→他の一般の職に比べて高いとは言えないが低くもない。普通に生活するには必要十分。
　私立→低いと思われるところが多いが、公立より高いところもある。

・福利厚生
　公立→私立に比べて産休などをとりやすい。また他の福利厚生も地方公務員に準ずる事が多い。
　私立→公立に比べて産休などをとりにくい。

・特色
　公立→一般的な保育が多い（←一般的とは何？と聞かれると答えにくいのですが…）。
　私立→裸足保育、音楽重視教育、しつけ重視、キリスト教など園独自の特色があることが多い。

この他にも色々違いがありますが、大差ないものもあります。
個人的には将来の不安が少ない公立の方がやっぱりいいなぁ…と思っています。
（私立関係者の方、大変申し訳ございません…）。